Kinderlezingen

 Om duidelijk te maken wat kansen precies zijn, begint de wiskundige met de Staatsloterij, dobbelspelen en roulette. ‘Bij dit soort spelletjes spelen kansen een rol.’ Mensen die meedoen met de loterij, kopen een lot. Er worden altijd heel veel loten verkocht en op een bepaalde datum worden er getallen ‘getrokken’ en kan de hoofdprijs vallen. ‘Stel dat er een miljoen loten worden verkocht, hoe groot is dan de kans om te winnen,’ vraagt Mandjes. ‘Eén op de miljoen,’ klinkt het uit de zaal. En dat is helemaal goed. Mandjes: ‘De kans is dus zeer klein dat je een miljoen wint. Behalve als je een geluksvogel bent natuurlijk.’

Winnen of niet

De wiskundige weet een spel waarbij de kans om te winnen veel groter is: kop of munt. De kans om ‘kop’ of ‘munt’ te gooien, is 50 procent: je kunt winnen of niet. Om dat te testen, krijgen alle kinderen een munt. Daar mogen ze twee keer mee gooien en de uitkomst moeten ze goed onthouden. Op een flip-over schrijft Mandjes geen twee, maar drie mogelijkheden: kop-kop, munt-munt en kop-munt. Dan gaat hij tellen: ‘Wie heeft twee keer kop gegooid?’ Uiteindelijk staan er drie uitkomsten op het papier. Zeven kinderen gooien twee keer kop, veertien kinderen hadden twee keer munt. De meeste kinderen hadden kop en munt, wel achttien kinderen. Een interessante uitkomst, meent Mandjes.

‘Dit experiment doe ik wel vaker en er blijkt altijd dat meer mensen kop en munt gooien dan de andere combinaties.’ Hoe komt dat dan? ‘Door de manier waarop je gooit,’ denkt een jongen. ‘Omdat het moeilijker is hetzelfde te gooien,’ denkt iemand anders. Die gedachte komt al aardig in de richting. Mandjes verklapt het: ‘Het komt doordat het bij de een kop-en-munt is en bij een ander munt-en-kop. De volgorde maakt niet uit, dus je hebt dan twee keer zoveel kans om dit te gooien dan om twee keer hetzelfde te gooien.’ Je hebt dus 50 procent kans om kop of munt te gooien en een kwart kans om twee keer munt of twee keer kop te gooien.

Gooien met tumtummetjes

Nu is het tijd voor het lekkerste experiment van vandaag: gooien met tumtummetjes. ‘Lekker!’ klinkt het in de zaal. Maar wat hebben deze snoepjes te maken met kansen? ‘Tumtummetjes hebben óók twee kanten, een onderkant en een zijkant,’ legt Mandjes uit. ‘Heb je dan ook 50 procent kans om twee keer één kant te gooien?’ Daar denken de kinderen even over na. Een meisje zegt: ‘Je hebt een boven, onder en zijkant… Ik denk dat je ongeveer 17 procent kans hebt.’ We nemen de proef op de som en gaan gooien. Voor deze test krijgen alle kinderen drie snoepjes en daarmee moeten ze drie keer gooien. En ze onthouden hoe de tumtummetjes neerkomen.

Op de flip-over schrijft Mandjes de uitkomst van de combinaties: één iemand gooide drie keer de onderkant, zes kinderen hadden twee keer de onderkant en een keer de zijkant, elf kinderen gooiden een keer de onderkant en twee keer de zijkant en wel achttien kinderen hadden drie keer de zijkant. ‘We kunnen hieruit concluderen dat het bijna onmogelijk is om drie keer de onderkant te hebben,’ zegt Mandjes terwijl hij naar de uitkomsten kijkt. ‘De kans dat een tumtummetje op de onderkant landt, is veel kleiner dan de kans dat het snoepje op zijn zijkant terecht komt.’ Leuk, zo’n uitkomst, maar het leukste deel van dit experiment volgt nu: iedereen mag de tumtummetjes opeten!

Waarschijnlijke uitkomsten

 Als je praat over kansen, wordt er veel gewerkt met dobbelstenen,’ zegt Mandjes, terwijl iedereen lekker op de snoepjes kauwt. ‘Als je gooit met twee dobbelstenen, wat zijn dan de mogelijke combinaties?’ Er wordt weer even nagedacht. ‘Minimaal twee,’ klinkt het dan. En dat klopt, want je kunt twee enen gooien. Het maximum is twaalf, met twee zessen. ‘Maar,’ zegt Mandjes, ‘zijn alle uitkomsten even waarschijnlijk?’

Om te laten zien wat de wiskundige bedoelt, pakt hij twee grote dobbelstenen. Een meisje mag ze allebei tien keer gooien, de combinatie én de uitkomst worden op de flip-over geschreven. Iedereen kijkt gespannen mee, terwijl Mandjes noteert. Na tien keer gooien zijn de uitkomsten: negen, zeven, vier, zes, zeven, elf, zeven, zes, negen en acht. ‘Zien jullie al iets,’ vraagt Mandjes. Dan mag een jonge ook tien keer gooien. De uitkomsten zijn deze keer: zeven, negen, acht, vier, drie, negen, vijf, drie, tien en zes.

Een jongen bekijkt het geheel en zegt: ‘De zeven gooi je het meest.’ Je gooit minder snel twee keer een één of twee keer een zes,’ zegt iemand anders. En dat is precies goed! ‘Als je twee wilt gooien, heb je maar één mogelijkheid,’ laat Mandjes zien op het scherm achter zich. ‘Er zijn wel zes mogelijkheden om zeven te gooien.’

Wat heb je aan kansen?

We weten nu dus dat je met kansen allerlei leuke berekeningen kunt maken. Maar wat heb je eigenlijk aan kansen? We zien een heel groot kruispunt van snelwegen. ‘Veel kansberekeningen zijn heel nuttig,’ zegt hij. ‘Als je een wegennetwerk ontwerpt, moet je weten hoeveel mensen gaan rijden. Als alle mensen tegelijk gaan rijden, moet je gigantische wegen hebben. In de werkelijkheid gaan mensen maar af en toe rijden.’ Dat geeft een heel ander beeld en dus heb je heel veel aan kansrekenen.

Hetzelfde probleem kun je tegenkomen op school, met computers en leerlingen. ‘Hoeveel computers heb je nodig om te zorgen dat er meestal voldoende computers zijn,’ vraagt de wiskundige. ‘Stel dat er honderd scholieren zijn, heb je dan ook honderd computers nodig?’ Nee, want ze maken er niet allemaal tegelijk gebruik van. Hoe zit dat in een klas? Hoeveel computers zou je dan nodig hebben? Een jongen steekt zijn vinger op: ‘Je hebt genoeg aan zestien computers,’ stelt hij. De jongen heeft in zijn  hoofd snel een berekening gemaakt, vertelt hij. ‘Als je 25 kinderen in de klas hebt en ze gaan elke dag 10 minuten achter de computer, heb je genoeg aan zestien computers.’

 Mandjes is onder de indruk, want dit was echt een vraag om een berekening op los te laten. ’Iedereen in de klas internet 10 procent van de tijd en je wilt 95 procent kans hebben dat alles goed gaat, dan heb je 18 computers nodig,’ legt hij uit. Dus de jongen zat met zijn zestien computers hartstikke in de buurt! ‘Stel je nou eens voor dat iedereen niet 10, maar 20 procent van de tijd aan het internetten is. Hoeveel computers heb je dan nodig?’ ‘Het dubbele van achttien,’ zegt een meisje. ‘Want twintig is een verdubbeling van tien.’ Het is niet helemaal het goede antwoord, maar ze denkt volgens Mandjes wel in de goede richting: Als 10 procent 20 procent wordt, heb je meer computers nodig.’

Slechte voorspelling

We hebben het nu telkens over het berekenen van kansen, maar in de wereld om ons heen wordt het woord ‘kans’ op een heel andere manier gebruikt. ‘Het woord gebruiken we altijd heel losjes, maar wat het dan precies betekent, weten we eigenlijk niet,’ zegt Mandjes. Bij de laatste Amerikaanse presidentsverkiezingen, werd bijvoorbeeld gezegd dat Trump 30 procent kans had om te winnen. Dat is niet veel. En Trump won. ‘Iedereen zei: “Wat een slechte voorspelling”. Maar met 30 procent kans, is er dus toch een mogelijkheid dat het kan gebeuren.’

Mandjes laat een plaatje zien van een keeper in zijn doel. De bal is erg dichtbij zijn vingers. ‘Hoe groot is de kans dat er gescoord wordt?’ De kinderen roepen. ’10 procent!’ ’15 procent!’ ‘5 procent!’ Mandjes: ‘Dit is een heel ander soort kans dan gooien met een dobbelsteen, want precies dezelfde kans herhalen, kan niet met voetbal.’

En hoe zit het dan met de kans op regen? Op het scherm verschijnt een teletekstpagina met het weerbericht. Morgen is er 70 procent kans op regen. Wat betekent dat? ‘Dat er een grote kans is dat het gaat regenen,’ zegt een meisje. En dat is helemaal goed. Het is waarschijnlijk dat het morgen gaat regenen. ‘Als er 20 procent kans is dat het gaat regenen, moet je je jas dan mee?’ Iedereen in de zaal schudt zijn hoofd. ‘Nee hè, dit is een kansje dat er misschien regen kan vallen. De betekenis is een soort gevoelswaarde,’ zegt Mandjes. Als er 80 procent had gestaan, is het hoogst waarschijnlijk dat er regen valt en dan neem je wel je jas mee.

Kansen zijn overal

‘Als je eenmaal bezig bent met kansen, zie je ze overal om je heen,’ zegt Mandjes enthousiast. Dan ziet hij bijvoorbeeld ineens vijf rode auto’s achter elkaar op straat. ‘Dan bedenk ik zelf “hoe groot is die kans?”’ Volgens een meisje is die kans niet zo groot. ‘Nee, maar het kán dus wel!’

Er schuilt zelfs een kans in verjaardagen! ‘Als je 365 dagen hebt en er zijn 40 kinderen, hoe groot is dan de kans dat twee kinderen op dezelfde dag jarig zijn?’ De kinderen in de zaal denken dat die kans maar heel klein is, 5 of 4 procent. Dat gaan we testen met een proefje. Op de grond komen kalenderellen te liggen. Ieder kind mag een sticker plakken op zijn of haar verjaardag. Bijzonder aan de groep kinderen die bij deze kinderlezing zijn, is dat er wel drie tweelingen zijn. Die hebben natuurlijk hun verjaardag op dezelfde dag. Maar dan ziet Mandjes iets bijzonders: op twee dagen zijn twee stickers geplakt van kinderen die géén tweeling zijn.

‘Hier zien we iets interessants,’ stelt de wiskundige. ‘Jullie dachten dat er misschien 4 of 5 procent kans was dat dit zou gebeuren, maar we zien nu dus dat die kans veel groter is.’ Als je met de cijfers gaat rekenen, blijkt dat de kans op een gedeelde verjaardag eigenlijk best groot is. Bij 15 mensen is die kans 26 procent, bij een groep van 25 mensen is die kans 57 procent en bij een groep van 60 zelfs 99,42 procent. Mandjes vertelt dat hij dit experiment wel vaker doet en dan merkt hij inderdaad dat veel mensen een gedeelde verjaardag hebben.

Gokje wagen

De wiskundige neemt de aanwezigen in de zaal weer even terug naar de lotto, want daar draait de vraag van vandaag ten slotte om. Ook al weten we dat de kans om de lotto te winnen niet heel groot is, toch mogen de kinderen tot besluit een gokje wagen. Mandjes: ‘Jullie mogen zelf voorspellen welke bal er wordt getrokken. De winnaar krijgt een prijs!’ Alle kinderen krijgen een briefje en schrijven daar een getal tussen de 1 en 9 op. Een jongen grabbelt in een ton met achttien ballen. Hij trekt… ‘Twee!’ Drie kinderen hebben het goed. Dan mag iedereen twee getallen opschrijven. De twee gaat weer terug in de ton en nu mag een meisje de trekking doen. ‘Drie en negen,’ zegt ze. ‘Ja!’, klinkt het. Eén meisje heeft ze allebei goed in de goede volgorde. ‘Dat is heel bijzonder,’ zegt Mandjes. ‘Gefeliciteerd!’