Kinderlezingen

De kinderen in de zaal zijn er klaar voor: ze zitten te popelen om achter het antwoord te komen. Wiskundige Han Peters van de Universiteit van Amsterdam zet zijn wiskundebril op. Voordat de kinderen dat kunnen doen, stelt hij eerst een belangrijke vraag: ‘Wat is wiskunde?’ Het is even stil in de zaal, dan geeft een meisje het antwoord: ‘Het is rekenen, maar dan moeilijker.’ Daar zit een kern van waarheid in, beaamt Peters. ‘Wiskunde is inderdaad breder dan rekenen. Wat het is, gaan we vandaag uitvinden.’

Kijk als een wiskundige

Om erachter te komen waarom slakkenhuizen niet vierkant zijn, is het belangrijk dat de kinderen leren kijken als een wiskundige. Peters laat vier plaatjes zien: sinaasappels, huizen, kinderen en vliegtuigen. Wat zou een wiskundige hierover kunnen zeggen? ‘Het zijn allemaal twee dingen,’ zegt een jongen. Dat heeft hij hartstikke goed gezien. Peters: ‘Het maakt niet uit waar de foto over gaat, ik zie overal twee.’ Dan laat hij een sinaasappel, een klok, een bloem en een munt zien. De kinderen kijken met hun wiskundebril, en… ‘Het is allemaal rond!’ klinkt het. En dat is precies wat Peters wilde horen: de vorm.

We hebben nu dus geleerd dat een wiskundige getallen en vormen ziet. Wat ziet een wiskundige nog meer? Op het scherm verschijnen weer vier beelden: een brug, een houten steiger, een bijzondere rotswand en een piano. Wat hebben deze plaatjes gemeen? ‘Ze hebben allemaal rechte lijnen,’ zegt iemand. ‘Ze zijn allemaal langwerpig,’ meent een ander. En dat klopt allebei. ‘Ze hebben allemaal te maken met patronen, lijnen en parallellen,’ legt Peters uit.

Dan is het tijd voor de laatste reeks plaatjes. Wat is de overeenkomst tussen een varen, een romanesco-bloemkool (met puntige torentjes), een driehoek gevuld met driehoeken en een spiraal? De kinderen kijken heel goed. Dan ziet een jongen het: ‘Het bestaat allemaal uit wiskundige vormen, alles bestaat steeds weer uit zichzelf.’ En een meisje zegt: ‘Neem die driehoek, daarin zit dezelfde driehoek, maar dan kleiner!’

Teddybeer

De wiskundebril werkt heel goed vandaag. ‘Je ziet alle dingen terug die in de vorm zitten, maar dan in verschillende schalen,’ zegt Peters. Om uit te leggen wat de kinderen precies zien, heeft hij een speciale teddybeer meegenomen. Hij heet Hausdorff, vernoemd naar een belangrijke Duitse wiskundige. De teddybeer is erg bijzonder: zijn armen zijn kleine teddyberen met armen gemaakt van… nog kleinere teddyberen! ‘Bij de driehoek zagen we dit al. Als je met je wiskundebril inzoomt in een hoekje van de driehoek, zie je het hele plaatje daarin terug. Dat zie je ook bij de varen,’ vertelt Peters. ‘We noemen dat zelfgelijkend: het lijkt op zichzelf.’

Een wiskundige let dus naast aantal en vorm ook op patronen en lijnen en of iets zelfgelijkend is. ‘Wat voor vormen of patronen zie je met je wiskundebril in de natuur?’ vraagt de wiskundige. We zien een plaatje van een zonnebloem. In het binnenste, waar de zonnebloempitten zitten, zien we allerlei spiralen. Samen vormen ze een patroon. Dan zien de kinderen ineens de tekenfilmfiguren Spongebob en Patrick op het scherm. Iedereen weet wie deze figuren zijn, die leven in de onderwaterstad Bikinibroek.

Vierkante bellen

Spongebob kan vierkante bellen blazen. ‘Kunnen wij dat ook,’ vraagt Peters zich hardop af. Om daarachter te komen, haalt hij twee vrijwilligers van de tribune. ‘Wij gaan kubusvormige bellen blazen,’ zegt hij stellig, terwijl hij het meisje een stok geeft met een speciale, kubusvormige blaastuit. Aan de kubus zit al bellenblaas. Het meisje geeft een flinke zwieper met de stok, maar… geen kubusvormige bellen. Dan mag de jongen het proberen. Ook hij doopt de kubus in de bellenblaas en geeft een zwiep… De bellen zijn gewoon rond!

Hoe kan dat? Ondanks de speciale tuit, worden de bellen gewoon rond! ‘De lucht vervormt de bellen,’ denkt een jongen. En daar zegt hij iets heel goeds.‘Lucht speelt een belangrijke rol bij de bellen. De bel bestaat door de spanning die van buiten en van binnen tegen het zeepsop duwt,’ legt Peters uit. ‘Het blijft in evenwicht.’

Maar waarom wordt de vorm dan rond? Een meisje denkt het te weten: ‘Als je een vorm het kleinst wilt maken, maak je ‘m rond.’ En dat is precies wat er gebeurt bij het blazen van de bellen! ‘Als je het oppervlak rond de lucht die erin zit, zo klein mogelijk wilt maken, wordt het bolvormig,’ vertelt Peters. ‘Waarom wil een bel dan zo klein mogelijk zijn? We laten dat raadsel nog even open,’ vervolgt hij geheimzinnig.

Eivormig ei

De volgende vorm die we bekijken, is ook rond. Het is echter geen volmaakte bol. Peters laat een ei zien en die is… eivormig! Een ei heeft een ovale vorm, met een bovenkant die spitser is dan de onderkant. Waarom is een ei eigenlijk eivormig? ‘Op deze manier wordt het eigeel en het eiwit zo goed mogelijk beschermd, met een zo klein mogelijk oppervlak,’ vertelt Peters. ‘Als het een andere vorm zou hebben, is er meer eischaal nodig.’ Een andere reden dat een ei wat langer is dan breed met een spitsere punt, heeft volgens de wiskundige te maken met… de kip! ‘De kip moet het ei ‘uitpoepen’, dus is het wel prettig als het niet al te breed is.’

En dan is er nòg een reden waarom een ei eruit ziet als een ei. Weten de kinderen dat? Het blijft even stil. Dan verklapt Peters het: ‘Nadat het ei is uitgeperst, duurt het nog even voordat een kuiken eruit komt. De kip zit op het ei en dan moet het niet breken!’ Als er hoeken in de eischaal zitten, krakt het volgens hem makkelijk door. Een ronde vorm is stevig. Om uit te vinden hoe sterk een eischaal nou precies is, roept Peters twee meisjes naar voren. Zij mogen uitvinden welke kant van een ei het stevigst is: de spitse bovenkant of de lange zijkant.

Het ene meisje houdt haar ei rechtop, terwijl het andere meisje met de punt van haar ei tegen de zijkant tikt. Wat er gebeurt, was niet de bedoeling! Het ei dat rechtop wordt gehouden, is nog heel en het ei dat met de punt ertegenaan werd getikt, is stuk. ‘De proef is mislukt,’ roept Peters. ‘De bedoeling was dat het eind dat rechtop werd gehouden kapot zou gaan, omdat dat punt zwakker is dan de bovenkant.’ Zo zie je maar dat proefjes ook weleens kunnen mislukken. De meisjes zeggen dat het kapotte ei al een scheurtje had. Dat zou het mislukken van de proef kunnen verklaren.

Tromgeroffel

‘Zijn eieren zo sterk dat je erop kunt staan,’ vraagt Peters dan. Hij pakt een tray rauwe eieren en zet die op de grond. Durven de kinderen dit aan? Twee jongens willen het wel proberen en trekken hun schoenen en sokken uit. Om de beurt proberen ze het. Er klinkt tromgeroffel en… de eieren blijven heel! Dan doet ook Peters zijn schoenen en sokken uit. Zouden de eieren zó sterk zijn..? Iedereen houdt zijn adem in terwijl de wiskundige voorzichtig op de eieren gaat staan. Krrrak! ‘Eieren zijn ontzettend sterk, maar het is maar goed dat kippen wat kleiner zijn dan ik,’ concludeert Peters lachend, terwijl hij met een handdoek wat eigeel van zijn voeten veegt.

Leuk, zo’n eiproef, maar wat heeft dat te maken met de vorm van een slakkenhuis? ‘Een slakkenhuis is glad en heeft geen hoeken, het heeft ronde vormen. Waarom zou dat zo zijn,’ vraagt Peters. ‘Het is glad, zodat een slak zich niet stoot,’ zegt een jongen. ‘Het is hetzelfde als bij het ei: hoeken breken sneller,’ denkt een meisje. ‘En er is minder materiaal nodig!’ roept een jongen. De kinderen hebben het allemaal goed. En er is nog iets, zegt Peters. ‘Het is een spiraal. Een slakkenhuis is rond, glad en eindeloos,’ vertelt hij. ‘Als je inzoomt, ziet het eruit als een hele spiraal. Hij is zelfgelijkend.’

Een huisje van een baby-slak ziet er net zo uit als een huis van een volwassen slak, alleen dan kleiner. Dat komt door de spiraalvorm. Waarom is dat zo? ‘Een slak groeit,’ stelt Peters. ‘En als hij groeit, maakt hij zijn huisje steeds groter. Hij bouwt er telkens een stukje aan.’ Dat gebeurt bij de rand. En zo wordt de spiraal steeds een stuk groter.

Zet je wiskundebril op

Nu is het tijd voor de kinderen om weer hun wiskundebril op te zetten. ‘We gaan op een heel andere, abstracte manier naar het slakkenhuis kijken,’ zegt Peters. ‘Want wat heeft een slakkenhuis met getallen te maken?’ Op het scherm verschijnt een getallenrij: 1, 2, 3, 4… De kinderen maken het af: ‘Vijf, zes, zeven!’ Ook de volgende rij vullen de kinderen aan: 2, 4, 6, 8… ‘Tien, twaalf, veertien!’ De volgende getallenrij is wat lastiger: 1, 2, 4, 7, 11… ‘Welk getal is het volgende,’ vraagt Peters.

De kinderen zijn aan het puzzelen, maar het antwoord komt niet. De wiskundige legt het uit: ‘Het antwoord is 16.’ Boven de rij verschijnt een som, 1+1+2+3+4… ‘Bij iedere stap tel je er 1 meer bij,’ vertelt Peters. ‘Dus dan krijg je bij 7 dat je er 4 bij moet optellen, dan krijg je 11. Bij 11 tel je er 5 bij, want dat is 1 meer dan 4. En dan wordt het antwoord 16.’ De kinderen kijken twijfelend, maar als Peters het aanwijst, valt het kwartje.

‘De volgende rij is een heel belangrijke,’ zegt Peters. De rij is bedacht door de Italiaan Fibonacci, misschien wel de belangrijkste wiskundige uit de Middeleeuwen. ‘Hij is ook beroemd geworden door de introductie van de getallen in Europa. Daarvoor werden Romeinse cijfers gebruikt en rekenen daarmee was niet zo handig,’ vertelt Peters. ‘De getallen die we nu gebruiken zijn veel handiger, je kunt er heel grote getallen mee maken. Deze cijfers gebruikten ze al in Arabië en Indië en bij de introductie in Europa heeft Fibonacci een enorme invloed gehad.’

Beroemde getallenrij

Naast het invoeren van de ‘nieuwe’ cijfers, is Fibonacci vooral beroemd geworden met de volgende getallenrij: 1, 1, 2, 3, 5, 8… ‘Wat zou het volgende getal zijn,’ vraagt de wiskundige. Nadat het even stil is geweest, klinkt er in de zaal: ‘Dertien!’ Dat is goed! En het daaropvolgende getal is 21. Peters: ‘Je telt steeds de vorige twee getallen bij elkaar op. Dus dan krijg je: 1+1 is 2, 1+2 is 3, 2+3 is 5 en zo steeds verder.’ Fibonacci dacht na over de snelheid waarmee deze getallen groeien.

Wat heeft de beroemde getallenrij met slakkenhuizen te maken? ‘De slakkenspiraal groeit volgens de Fibonacci-reeks,’ verklapt Peters. Hij laat het zien met een aantal vierkanten. Hij neemt één vierkantje en zet er een bovenop dat net zo groot is. Dan plaatst hij er een vierkant op dat twee keer zo groot is. En dan eentje ertegenaan dat één plus twee keer zo groot is. ‘Als je steeds een halve cirkel tekent door deze vierkanten, krijg je de spiraal van de slak.’ Het volgende vierkant moet dan vijf keer groter zijn, want: twee plus drie. En het vierkant dat daarna volgt? Precies, acht!

Bekijk de wereld anders

Een slakkenhuis is rond, omdat dat stevig is en omdat er op die manier het minst materiaal nodig is. En daarbij is een slakkenhuis ook nog eens wiskundig: ‘Dezelfde regel die Fibonacci gebruikte, kom je tegen in het slakkenhuis,’ concludeert Peters. ‘Het is zelfgelijkend en het heeft heel veel met getallen te maken.’ Het bijzondere aan de reeks van Fibonacci, is dat het niet alleen terug is te vinden in slakkenhuizen. ‘Wat dacht je van de ribbels van een ananas? Dat zijn er dertien, een Fibonacci-getal! En de stroken van een bananenschil? Dat zijn er vijf, ook een getal uit de Fibonacci-reeks! Hoeveel blaadjes heeft deze bloem? Ik telde 34, ook van Fibonacci,’ roept Peters enthousiast. ‘Is dat toeval? Of zit er heel veel wiskunde verscholen in de natuur? Als je met je wiskundebril op kijkt, zie je de wereld heel anders.’